题目内容
已知函数f(x)=2sin(x-
)cosx+sinxcosx+
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f(B)=
，AC=4
，D是BC边上一点，AB=AD，试求AD+DC的最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f(B)=
| 3 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调性，即可求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）先求出B，再表示出AD+DC，结合角C的范围，即可求AD+DC的最大值．
（Ⅱ）先求出B，再表示出AD+DC，结合角C的范围，即可求AD+DC的最大值．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=2(
sinx-
cosx)cosx+sinxcosx+
sin2x=2sinxcosx-
(cos2x-sin2x)
=sin2x-
cos2x=2sin(2x-
)．（2分）
由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z）．（3分）
取k=0，得-
≤x≤
，又x∈[0，π]，则x∈[0，
]；（4分）
取k=1，得
≤x≤
，又x∈[0，π]，则x∈[
， π]．（5分）
∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间是[0，
]，[
， π]．（6分）
（Ⅱ）由f(B)=
得sin(2B-
)=
．
又0＜B＜
，则-
＜2B-
＜
，从而2B-
=
，
∴B=
．（8分）
在△ACD中，由正弦定理，得
=
=
，
∴AD=8sinC，CD=8sin(
-C)，
则AD+DC=8sinC+8sin(
-C)=8(sinC+
cosC-
sinC)=8(
cosC+
sinC)=8sin(C+
)．
∵∠ADC=
，
∴0＜C＜
，
＜C+
＜
，
当C+
=
，即C=
时，AD+DC取得最大值8．（12分）
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=sin2x-
| 3 |
| π |
| 3 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
取k=0，得-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
取k=1，得
| 11π |
| 12 |
| 17π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间是[0，
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
（Ⅱ）由f(B)=
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
又0＜B＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴B=
| π |
| 3 |
在△ACD中，由正弦定理，得
| AD |
| sinC |
| DC | ||
sin(
|
4
| ||
sin
|
∴AD=8sinC，CD=8sin(
| π |
| 3 |
则AD+DC=8sinC+8sin(
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵∠ADC=
| 2π |
| 3 |
∴0＜C＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当C+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查三角函数的性质，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，正确化简函数是关键．
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