Question

对于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*，满足A∪B=M．
（1）若数列{a_n}的通项公式是an=2n-1，求等差数列{b_n}的通项公式；
（2）若M为2n元集合，A∩B=∅且

n

k=1

an=

n

k=1

bn，则称A∪B是集合M的一种“等和划分”（A∪B与B∪A算是同一种划分）．
已知集合M={1，2，…，12}
①若12∈A，集合A中有五个奇数，试确定集合A；
②试确定集合M共有多少种等和划分？

Answer 1

分析：（1）利用a_n=2^n-1，可得A={1，2，4，8，…}，从而3，5，6，7∈B，由此可求等差数列{b_n}的通项公式；
（2）①因为12∈A，由于当集合A确定后，集合B便是唯一确定的，故只须考虑集合A的个数，确定集合A={a₁，a₂，…，a₆}，a₆为最大数，A₁={ a₁，a₂，…，a₅ }中有奇数个奇数，由此可结论；
②由①可知，若A₁ 中有五个奇数，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}，再考虑A₁ 中有三个奇数、两个偶数，用p表示A₁中这两个偶数，x₁，x₂ 之和，q表示A₁中这三个奇数y₁，y₂，y₃ 之和，则p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A₁的24种情形；
（3）若A₁中有一个奇数、四个奇数，由于M中除12外，其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使A₁中五个数之和为27，可以得到A₁的4种情形，从而可得结论．

解答：解：（1）∵a_n=2^n-1，∴A={1，2，4，8，…}
∴3，5，6，7∈B，∴b_n的公差d=1                                …（2分）
若b₁=3，则b_n=3+n-1=n+2
若b₂=3，则b₁=2，则b_n=2+n-1=n+1
若b₃=3，则b_n=n                                              …（5分）
（2）①因为12∈A，由于当集合A确定后，集合B便是唯一确定的，故只须考虑集合A的个数
设集合A={a₁，a₂，…，a₆}，a₆为最大数，由1+2+…+12=78，知a₁+a₂+…+a₆=39，a₆=12，
于是a₁+a₂+…+a₅=27，故A₁={ a₁，a₂，…，a₅}中有奇数个奇数．
A₁ 中有五个奇数，因M中的六个奇数之和为36，而27=36-9，所以，A₁={1，3，5，7，11}．
此时，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}．…（8分）
②由①可知，若A₁ 中有五个奇数，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}
若A₁ 中有三个奇数、两个偶数，用p表示A₁中这两个偶数，x₁，x₂ 之和，q表示A₁中这三个奇数y₁，y₂，y₃ 之和，则p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A₁的24种情形．…（10分）
①当p=6，q=21时，（ x₁，x₂）=（2，4），（y₁，y₂，y₃）=（1，9，11），（3，7，11），（5，7，9）可搭配成A₁的3种情形；
②当p=8，q=19时，（ x₁，x₂）=（2，6），（y₁，y₂，y₃）=（1，7，11），（3，5，11），（5，7，9）可搭配成A₁的3种情形；
③p=10，q=17时，（ x₁，x₂）=（2，8），（4，6）（y₁，y₂，y₃）=（1，5，11），（1，7，9），（3，5，9），可搭配成A₁的3种情形；
④p=12，q=15时，（ x₁，x₂）=（2，10），（4，8），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，11），（1，5，9），（3，5，7），可搭配成A₁的6种情形；
⑤当p=14，q=13时，（ x₁，x₂）=（4，10），（6，8），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，9），（1，5，7），可搭配成A₁的4种情形；
⑥当p=16，q=11时，（ x₁，x₂）=（6，10），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，7）可搭配成A₁的1种情形；
⑦当p=18，q=9时，（ x₁，x₂）=（8，10），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，5），可搭配成A₁的1种情形；
（3）若A₁中有一个奇数、四个奇数，由于M中除12外，其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使A₁中五个数之和为27，分别得到A₁的4种情形（7，2，4，6，8），（5，2，4，6，10），（3，2，4，8，10），（1，2，6，8，10）…（14分）
综上，集合A有1+24+4=29种情形，即M有29种等和划分．…（16分）

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是关键，属于难题．