Question

设函数f（x）=msinx+3cosx（x∈R），试分别解答下列两小题．
（ I）若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为x1=

π

12

，x2=

7π

12

，求函数y=f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（ II）当m=

3

时，在△ABC中，满足f(A)=2

3

，且BC=1，若E为BC中点，试求AE的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据函数图象与y=n相邻的两交点的横坐标的值列出关系式，表示出m，利用和差化积公式化简后，再利用特殊角的三角函数值变形，求出m的值，确定出函数f（x）的解析式，由f（x）的解析式提取-6，然后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的地增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数的递增区间；
（II）把m的值代入第一问化简得到的函数解析式中，根据f（A）=2

3

，利用特殊角的三角函数值计算后求出A的度数，构造一个圆，弦BC所对的圆周角为∠A，点A在弦BC所对的优弧上运动，且不与B与C重合，可得出当△ABC为等腰三角形，AB=AC，且AE过圆心O时，此时AE最大，由E为BC的中点，由∠A的度数，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠BOC的度数，由OB=OC，得出三角形BOC为等边三角形，根据三线合一得到AE垂直于BC，在直角三角形OBE中，根据勾股定理求出OE的长，再由AO+OE即可求出此时AE的长，即为AE的最大值．

解答：解：（I）根据题意得：
msin

π

12

+3cos

π

12

=msin

7π

12

+3cos

7π

12

=n，
变形得：m=

3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin π 12 -sin 7π 12

=

-6sin π 3 sin π 4

-2cos π 3 sin π 4

=3

3

，
∴f（x）=3

3

sinx+3cosx=6sin（x+

π

6

），
∵正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

（k∈Z），
则函数f（x）的递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（II）把m=

3

代入解析式得：f（x）=

3

sinx+3cosx=2

3

sin（x+

π

3

），
∵f（A）=2

3

，∴2

3

sin（A+

π

3

）=2

3

，即sin（A+

π

3

）=1，
又A为三角形的内角，∴A+

π

3

=

π

2

，即A=

π

6

，又BC=1，
假设∠A为弦BC所对的圆周角，画出相应的图形，如图所示：

当△ABC为等腰三角形，AB=AC，且AE过圆心O时，此时AE最大，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，且BC=1，
∴△BOC为边长为1的等边三角形，
又E为BC的中点，∴BE=CE=

1

2

BC=

1

2

，且OE⊥BC，
在直角三角形BOE中，根据勾股定理得：OE=

OB2-BE2

=

3

2

，
又OA=OB=1，∴AE=AO+OE=1+

3

2

，
则AE的最大值为1+

3

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：和差化积公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及勾股定理，其中构造如图所示的图形，找出当△ABC为等腰三角形，AB=AC，且AE过圆心O时，此时AE最大是解本题第二问的关键．