题目内容
（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′(x)+2xf(x)=
，f（2）=
，则x＞0时，f（x）（ ）
| ex |
| x |
| e2 |
| 8 |
分析：先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．
解答：解：∵函数f（x）满足x2f′(x)+2xf(x)=
，
∴[x2f(x)]′=
∴x＞0时，x2f(x)=
dx
∴f(x)=
∴f′(x)=
令g（x）=ex-2
dx，则g′(x)=ex-
=ex(1-
)
令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增
∴g（x）在x=2时取得最小值
∵f（2）=
，∴g（2）=e2-2×4×
=0
∴g（x）≥g（2）=0
∴f′(x)=
≥0
即x＞0时，f（x）单调递增
∴f（x）既无极大值也无极小值
故选D．
| ex |
| x |
∴[x2f(x)]′=
| ex |
| x |
∴x＞0时，x2f(x)=
| ∫ | +∞ 0 |
| ex |
| x |
∴f(x)=
| ||||
| x2 |
∴f′(x)=
ex-2
| ||||
| x3 |
令g（x）=ex-2
| ∫ | +∞ 0 |
| ex |
| x |
| 2ex |
| x |
| 2 |
| x |
令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增
∴g（x）在x=2时取得最小值
∵f（2）=
| e2 |
| 8 |
| e2 |
| 8 |
∴g（x）≥g（2）=0
∴f′(x)=
ex-2
| ||||
| x3 |
即x＞0时，f（x）单调递增
∴f（x）既无极大值也无极小值
故选D．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
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