Question

（2013•辽宁）设向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，x∈[0，

π

2

]．
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（2）设函数f(x)=

a

•

b

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

a

2，

b

2的值，再根据|

a

|=|

b

|以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

6

）+

1

2

．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意可得

a

2=(

3

sinx)2+sin²x=4sin²x，

b

2=cos²x+sin²x=1，
由|

a

|=|

b

|，可得 4sin²x=1，即sin²x=

1

4

．
∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx=

1

2

，即x=

π

6

．
（2）∵函数f(x)=

a

•

b

=（

3

sinx，sinx）•（cosx，sinx）=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
 x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴当2x-

π

6

=

π

2

，sin（2x-

π

6

）+

1

2

取得最大值为 1+

1

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．