题目内容
【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 且4Sn=(an+1)2(n∈N+). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{ }的前n项和,证明:
≤Tn<1(n∈N+).
【答案】解:(Ⅰ)当n=1时,4a1=(a1+1)2 , 解得:a1=1, 当n≥2时,4Sn﹣1=(an﹣1+1)2 , 4Sn=(an+1)2 ,
两式相减得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵an>0,
∴an﹣an﹣1=2,
∴数列{an}是以2为公差,以1为首项的等差数列,
∴an=2n﹣1;
证明:(Ⅱ) =
=
﹣
,
∴Tn=(1﹣ )+(
﹣
)+(
﹣
)+…+(
﹣
),
=1﹣ ,
∴Tn<1, >0,
∴Tn≥T1= .
∴ ≤Tn<1(n∈N+)
【解析】(Ⅰ)当n=1时,即可求得a1=1,当n≥2时,4Sn﹣1=(an﹣1+1)2 , 4Sn=(an+1)2 , 两式相减可得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,可知:an﹣an﹣1=2,数列{an}是以2为公差,以1为首项的等差数列,即可求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ) =
﹣
,根据“裂项法”即可求得Tn=1﹣
,Tn<1,由Tn≥T1=
.即可证明
≤Tn<1(n∈N+).
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(本小题满分12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 |
|
|
|
|
|
|
该社团将该校区在年
天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)请估算年(以
天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(Ⅱ)该校年
月
、
日将作为高考考场,若这两天中某天出现
级重度污染,需要净化空气费用
元,出现
级严重污染,需要净化空气费用
元,记这两天净化空气总费用为
元,求
的分布列及数学期望.