Question

(本题满分14分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x ≥ 10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x（单位：元）．⑴写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

⑵该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = ）

Answer 1

(Ⅰ) y = 560 + 48x + (x ≥ 10，x ∈N*) (Ⅱ) 最少值为2000元

解析:

⑴设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得y = (560 + 48x) + = 560 + 48x + (x ≥ 10，x ∈N*)；  5分定义域不对扣1－2分

⑵法一：∵x > 0，∴  48x + ≥ 2 = 1440，    8分

  当且仅当48x  = ，即 x = 15时取到“=”，   10分

此时，平均综合费用的最小值为560 + 1440 = 2000元． 13分

答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元． 14分

法二：先考虑函数 y = 560 + 48x + (x ≥ 10，x ∈R)；      7分（定义域不写和不对扣2分）

则y ' = 48 ?? ，令y ' = 0，即48 ?? = 0，解得 x = 15，                10分

当 0 < x < 15时，y ' < 0；当x > 15时，y ' > 0，又15∈N*，

因此，当x = 15时，y取得最小值，ymin = 2000元．                            13分

答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元． 14分