题目内容
已知：f（x）=2cos2x+
sin2x+a（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-
，
]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（3）在（2）条件下f（x）先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到y=sinx，请写出完整的变换过程．
| 3 |
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（3）在（2）条件下f（x）先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到y=sinx，请写出完整的变换过程．
分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可将f（x）=2cos2x+
sin2x+a化为：f（x）=2sin（2x+
）+a+1，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-
，
]⇒2x∈[-
，
]⇒2x+
∈[-
，
]，利用正弦函数的性质结合题意即可求得a的值；
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求在（2）条件下由f（x）变换得到y=sinx的变换过程．
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求在（2）条件下由f（x）变换得到y=sinx的变换过程．
解答：解：（1）∵f（x）=2cos2x+
sin2x+a
=cos2x++
sin2x+a+1
=2sin（2x+
）+a+1…（2分）
∴最小正周期T=
=π…（3分）
（2）∵x∈[-
，
]，
∴2x∈[-
，
]，2x+
∈[-
，
]，…（4分）
∴-
≤sin（2x+
）≤1…（5分）
即f（x）min=a，f（x）max=a+3，
∴a+a+3=3，故a=0 …（6分）
（3）将f（x）=2sin（2x+
）+1的图象先向右平移
个单位，再向下平移1个单位，得到f（x）=2sin2x的图象，…（8分）
再将f（x）=2sin2x的图象上每一个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
，得到f（x）=sinx的图象． （10分） …（10分）
| 3 |
=cos2x++
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）∵x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
∴2x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
即f（x）min=a，f（x）max=a+3，
∴a+a+3=3，故a=0 …（6分）
（3）将f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
再将f（x）=2sin2x的图象上每一个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查复合三角函数的单调性与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的综合应用，属于中档题．
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