题目内容
如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3| 2 |
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．
分析：（Ⅰ）利用OM是△ABC的中位线，可得OM∥AB，利用线面平行的判定，可得OM∥平面ABD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量、平面BOD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BD-O的余弦值．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量、平面BOD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BD-O的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3
，所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（7分）
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.A(3
，0，0)， D(0，3，0)，B（0，0，3）．
所以
=(-3
，0，3)，
=(-3
，3，0)，…（8分）
设平面ABD的法向量为
=（x，y，z），则有
即：
令x=1，则y=
，z=
，所以
=(1，
，
)．…（10分）
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的法向量为
=（1，0，0）．…（11分）
所以cos＜
，
＞ =
=
=
，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为
．…（12分）
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3
| 2 |
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.A(3
| 3 |
所以
| AB |
| 3 |
| AD |
| 3 |
设平面ABD的法向量为
| n |
|
|
令x=1，则y=
| 3 |
| 3 |
| n |
| 3 |
| 3 |
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的法向量为
| n0 |
所以cos＜
| n0 |
| n |
| ||||
|
|
| 1 | ||
1×
|
| ||
| 7 |
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为
| ||
| 7 |
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，正确运用向量法解决空间角问题．
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。 