Question

已知l₁、l₂是过点P（-

2

，0）的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²-x²=1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求l₁的斜率k₁的取值范围；
（2）若|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）显然l₁、l₂斜率都存在，设l₁的斜率为k₁，得到l₁、l₂的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k₁的取值范围；
（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l₁、l₂的方程．

解答：解：（1）显然l₁、l₂斜率都存在，否则l₁、l₂与曲线不相交．设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y=k₁（x+

2

）．
联立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得
（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根据题意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全类似地有

1

k 2 1

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k 2 1

-4＞0，⑤
从而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1．
（2）由弦长公式得
|A₁B₁|=

1+ k 2 1

12 k 2 1 -4 ( k 2 1 -1)2

．⑥
完全类似地有
|A₂B₂|=

1+ 1 k 2 1

12-4 k 2 1 ( k 2 1 -1)2

．⑦
∵|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，
∴k₁=±

2

，k₂=

.

+

2

2

．从而
l₁：y=

2

（x+

2

），l₂：y=-

2

2

（x+

2

）或l₁：y=-

2

（x+

2

），l₂：y=

2

2

（x+

2

）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．