题目内容
已知l1、l2是过点P（-
，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若|A1B1|=
|A2B2|，求l1、l2的方程．
【答案】分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；
（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．
解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+
）．
联立得y=k1（x+
），y2-x2=1，
消去y得
（k12-1）x2+2
k12x+2k12-1=0．①
根据题意得k12-1≠0，②
△1＞0，即有12k12-4＞0．③
完全类似地有
-1≠0，④
△2＞0，即有12•
-4＞0，⑤
从而k1∈（-
，-
）∪（
，
）且k1≠±1．
（2）由弦长公式得
|A1B1|=
．⑥
完全类似地有
|A2B2|=
．⑦
∵|A1B1|=
|A2B2|，
∴k1=±
，k2=
．从而
l1：y=
（x+
），l2：y=-
（x+
）或l1：y=-
（x+
），l2：y=
（x+
）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．
（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．
解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+
）．联立得y=k1（x+
），y2-x2=1，消去y得
（k12-1）x2+2
k12x+2k12-1=0．①根据题意得k12-1≠0，②
△1＞0，即有12k12-4＞0．③
完全类似地有
-1≠0，④△2＞0，即有12•
-4＞0，⑤从而k1∈（-
，-）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得
|A1B1|=
．⑥完全类似地有
|A2B2|=
．⑦∵|A1B1|=
|A2B2|，∴k1=±
，k2=．从而l1：y=
（x+），l2：y=-（x+）或l1：y=-（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．
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|A2B2|，求l1、l2的方程．
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