Question

已知函数f(x)=loga(

x+1

x-1

)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若a＞1，判断f（x）的单调性；
（3）当f（x）的定义域区间为（1，a）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的定义域，再利用奇偶性的定义判断奇偶性即可，注意到

x+1

x-1

与

x-1

x+1

互为导数，其对数值互为相反数．
（2）可通过复合函数“同增异减”判单调性．
（3）结合（2）中的单调性求出f（x）的最值，结合值域解方程即可．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1或x＞1，即f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，
又f（-x）=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

 =loga (

x+1

x-1

)-1=-f（x）
故f（x）为奇函数．
（2）f(x)=loga(

x+1

x-1

)由y=log_at和t=

x+1

x-1

复合而成，
a＞1时，y=log_at为增函数，
而t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数，
由复合函数的单调性知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数．
（3）由题意a＞1，由（2）可知f（x）在（1，a）上为减函数，
故f（x）＞f（a）=loga

a+1

a-1

=1，即a²-2a-1=0，
a=1±

2

，又因为a＞1，故a=1+

2

点评：本题考查函数奇偶性的判断、复合函数单调性的判断及单调性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．