Question

（04全国卷I理）（14分）

已知数列，且a_2k=a_2k－1+(－1)^k,   a_2k+1=a_2k+3^k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；

（II）求{ a_n}的通项公式.

Answer 1

解析：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0,

              a₃=a₂+3¹=3.

           a₄=a₃+(－1)²=4,

           a₅=a₄+3²=13,

    所以，a₃=3,a₅=13.

    (II)  a_2k+1=a_2k+3^k

               = a_2k－1+(－1)^k+3^k,

     所以a_2k+1－a_2k－1=3^k+(－1)^k,

    同理a_2k－1－a_2k－3=3^k－1+(－1)^k－1,

             ……

         a₃－a₁=3+(－1).

    所以(a_2k+1－a_2k－1)+(a_2k－1－a_2k－3)+…+(a₃－a₁)

        =(3^k+3^k－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k－1+…+(－1)],

    由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

    于是a_2k+1= 

        a_2k= a_2k－1+(－1)^k=(－1)^k－1－1+(－1)^k=(－1)^k=1.

{a_n}的通项公式为：

    当n为奇数时，a_n­=

    当n为偶数时，