题目内容
如图,P―ABC中,D是AC的中点,PA=PB=PC=
(1)求证:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P―AB―C的大小;
(3)求AB的中点E到平面PBC的距离.
方法一:(1)证明:连结BD,∵D分别是AC的中点,PA=PC=
∴PD⊥AC,
∵AC=2,AB=,BC=
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,即AB⊥BC.
∴BD=,
∵PD2=PA2―AD2=3,PB
∴PD2+BD2=PB2,
∴PD⊥BD,
∵ACBD=D
∴PD⊥平面ABC.
(2)解:取AB的中点E,连结DE、PE,由E为AB的中点知DE//BC,
∵AB⊥BC,∴AB⊥DE,
∵DE是直线PE的底面ABC上的射景
∴PE⊥AB ∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角,
在△PED中,DE=∠=90°,
∴tan∠PDE=
∴二面角P―AB―C的大小是
(3)解:设点E到平面PBC的距离为h.
∵VP―EBC=VE―PBC,
∴
在△PBC中,PB=PC=,BC=
而PD=
∴
∴点E到平面PBC的距离为
方法二:(1)同方法一:
(2)解:取AB的中点E,连结DE、PE,过点D作AB的平行线交BC于点F,以D为原点,DE为x轴,DF为y轴,DP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),P(0,0,),E(),B=()
设上平面PAB的一个法向量,则由
这时,
显然,是平面ABC的一个法向量.
∴
∴二面角P―AB―C的大小是
(3)解:
设平面PBC的一个法向量,由
得
令是平面PBC的一个法向量
又
∴点E到平面PBC的距离为
练习册系列答案
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