Question

已知函数f(x)＝e^x－e^－x(x∈R且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)∵f(x)＝e^x－()^x，且y＝e^x是增函数，

y＝－()^x是增函数，所以f(x)是增函数.

由于f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝e^－x－e^x＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，

∴f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x∈R恒成立

⇔f(x²－t²)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立

⇔x²－t²≥t－x对一切x∈R恒成立

⇔t²＋t≤x²＋x对一切x∈R恒成立

⇔(t＋)²≤(x＋)_min²

⇔(t＋)²≤0⇔t＝－.

即存在实数t＝－，

使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x都成立.