题目内容
如图，已知
是长轴为
的椭圆上三点，点
是长轴的一个顶点，
过椭圆中心
，且
.
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点
使直线
与
轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数
使
?请给出证明．
【答案】
(1)
(2) 存在实数
使
证明：设直线
的方程为
，所以直线
的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去
得
，所以
同理
又
，所以
，所以
，即存在实数使成立
【解析】
试题分析：(1)以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图所示的直角坐标系，则
，椭圆方程可设为
而为椭圆中心，由对称性知
又
，所以
又
，所以
所以
为等腰直角三角形，所以点
的坐标为
将 代入椭圆方程得
则椭圆方程为
(2)由直线
与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为
，
则直线的斜率为
，直线的方程为，
直线的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
①
因为
在椭圆上，所以
是方程①的一个根，于是
同理
这样，
又，所以
即
.所以，即存在实数使.
考点：求椭圆方程及直线与椭圆相交韦达定理的应用
点评：本题对于高二文科学生有一定的难度，可区分出优秀学生与一般学生
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与
轴负半轴的交点为
. 由点
的斜率为
. 射线
相交于另一点
时，试用
的坐标；
，其中
、
均为整数且
、虚半轴长
和半焦距
都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”. 
时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”(规定：实轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线)，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点
的数值构成. 说明你的理由并请尝试给出构造方法. 
是长轴为4的椭圆上的三点，点
是长轴的一个顶点，
过椭圆中心
（如图），且
，
（Ⅱ）如果椭圆上的两点
，使
的平分线垂直于
，是否总存在实数
，使
。请给出证明。
，O为原点，点M是椭圆右准线上的动点，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于P、Q两点，直线PQ与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是 ．