题目内容
设为实数,函数。
①求的单调区间与极值;
②求证:当且时,。
(1)解:由
令,得于是当的变化情况如下:
故的单调递减区间是,单调递增区间是,在处取得极小值,极小值为 - 0 +
(2)设。对于任意的>0,所以在R内单调递增。
得到。
解析试题分析:(1)解:由
令,得于是当的变化情况如下:
故的单调递减区间是,单调递增区间是,在处取得极小值,极小值为 - 0 +
(2)证:设。由(1)知>时,>0
于是对于任意的>0,所以在R内单调递增。
于是当>时,对任意的>
而=0,从而对于任意的,>0.
即>0,故
考点:本题主要考查导数计算,应用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式。
点评:典型题,在给定区间,导数值非负,函数是增函数,导数值为非正,函数为减函数。求极值的步骤:计算导数、求驻点、讨论驻点附近导数的正负、确定极值。不等式证明中,构造函数是关键。本题利用“本解法”,直观明了。
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