题目内容
下面四个命题:
①命题“?x∈R,使得x
2+x+l<0”的否定是真命题;
②一组数据18,21,19,a,22的平均数是20,那么这组数据的方差是2;
③已知直线l
1:a
2x-y+6=0与l
2:4x-(a-3)y+9=0,则l
1⊥l
2的必要条件是a=-1:
④函数f(x)=|lgx|-(

)
x有两个零点x
1、x
2,则一定有0<x
1x
2<1.
其中真命题是
(写出所有真命题的序号).
【答案】
分析:①根据命题“?x∈R,使得x
2+x+l<0”是假命题,其否定为真命题,从而得到答案.
②先由平均数的公式计算出a的值,再根据方差公式计算.
③根据l
1⊥l
2 ,斜率之积等于-1可得a
2×

=-1,由此求得a的值.
④先将f(x)=|lgx|-(

)
x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2
-x有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在(0,1)和(1,+∞)内,即可得到-2
-x1=lgx
1和2
-x2=lg x
2,然后两式相加即可求得x
1x
2的范围.
解答:解:①∵命题“?x∈R,使得x
2+x+l<0”是假命题
∴否定命题真命题;正确;
②:a=5×20-1(8+21+19+22)=20,
s
2=

[(18-20)
2+(21-20)
2+(19-20)
2+(20-20)
2+(22-20)
2]=2.
③∵l
1⊥l
2 ,∴a
2×

=-1,4a
2+a-3=0,解得 a=3或-1.故③不正确;
④

:f(x)=|lgx|-(

)
x有两个零点x
1,x
2
即y=|lgx|与y=2
-x有两个交点
由题意x>0,分别画y=2
-x和y=|lgx|的图象
发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点
不妨设 x
1在(0,1)里 x
2在(1,+∞)里
那么 在(0,1)上有 2
-x1=-lgx
1,即-2
-x1=lgx
1…①
在(1,+∞)有2
-x2=lg x
2…②
①②相加有2
-x2-2
-x1=lgx
1x
2
∵x
2>x
1,∴2
-x2<2
-x1 即2
-x2-2
-x1<0
∴lgx
1x
2<0
∴0<x
1x
2<1.正确.
故答案为:①②④.
点评:考查命题、统计、逻辑、函数零点、指对数函数性质等,较难题.
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