Question

解关 于x的 不 等 式：

x+2

k

＞1+

x-3

k2

(k≠0)，并回答下列 问 题：
（1）若 解 集 为 {x|x＞3}，求k的值．
（2）若x=3在 解 集 中，求k的 取 值 范 围．

Answer 1

分析：原不等式等价于 当k＞1时，x＞

k2-2k-3

k-1

，当k＜1时，x＜

k2-2k-3

k-1

，当k=1时，x∈R．
（1）依题意得：

k ＞ 1 k2-2k-3 k-1 =3

，解得 k值．
（2）依题意得：

k ＞ 1 k2-2k-3 k-1 ＜ 3

，或

k  ＜ 1 k2-2k-3 k-1 ＞ 3

，或k=1，解得k的取值范．

解答：解：原不等式可化为：

kx+2k

k2

＞

k2+x-3

k2

，又k≠0，∴k²＞0，
∴原不等式等价于kx+2k＞k²+x-3，即（k-1）x＞k²-2k-3，当k＞1时，x＞

k2-2k-3

k-1

，
当k＜1时，x＜

k2-2k-3

k-1

，当k=1时，x∈R．
（1）依题意得：

k ＞ 1 k2-2k-3 k-1 =3

，解得 k=5．
（2）依题意得：

k ＞ 1 k2-2k-3 k-1 ＜ 3

，或

k  ＜ 1 k2-2k-3 k-1 ＞ 3

，或k=1，
解得 0＜k＜5．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，元素与集合的关系，体现了分类讨论的数学思想，由x=3在 解 集 中，得到
 

k ＞ 1 k2-2k-3 k-1 ＜ 3

  或

k  ＜ 1 k2-2k-3 k-1 ＞ 3

  或k=1，是解题的关键．