Question

7．已知m≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$在x∈（1，3）时无解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$，x∈（1，3），令t=2x+1，3＜t＜7，可得t的函数，运用变量分离法，可得函数的值域，结合条件可得m的范围．

解答 解：设f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$，x∈（1，3），
令t=2x+1，3＜t＜7，
则f（x）=$\frac{t}{\frac{（t-1）^{2}}{4}+1}$
=$\frac{4t}{{t}^{2}-2t+5}$=$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-2}$，
由t+$\frac{5}{t}$在（3，7）递增，
即有t+$\frac{5}{t}$∈（$\frac{14}{3}$，$\frac{54}{7}$），
则f（x）∈（$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{2}$），
m≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}+1}$在x∈（1，3）时无解，
即有m≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数与不等式的关系，构造函数求出值域是解题的关键．