Question

已知函数y=

2x

x2+1

-3的值域为集合A，函数y=[kx2+(2k-4)x+k-4]-

1

2

的定义域为集合B，若A∪B=B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：先利用根判别式法求出函数y=

2x

x2+1

-3的值域得到集合A；对参数k分类讨论：若k=0时，若k＞0时，若k＜0时，解得：B=(-1+

4

k

，-1)，最后利用A∪B=B，的充要条件A⊆B，得到关于k的不等关系即可求出实数k的取值范围．

解答：解：∵y=

2x

x2+1

-3，∴（y+3）x²-2x+y+3=0
当y≠-3时，∵x∈R，∴4-4（y+3）²≥0∴-4≤y＜-3或-3＜y≤2
当y=-3时，x=0∴A=[-4，-2]…（4分）
若k=0时，则y=(-4x-4)-

1

2

由-4x-4＞0，解得B=（-∞，-1）
此时A∪B=B成立．…（6分）
若k＞0时，由kx²+（2k-4）x+k-4＞0
解得：B=(-∞，-1)∪(-1+

4

k

，+∞)
此时A∪B=B成立．…（8分）
若k＜0时，由kx²+（2k-4）x+k-4＞0
解得：B=(-1+

4

k

，-1)，∵A∪B=B，∴A⊆B，
即-1+

4

k

＜-4，∴-

4

3

＜k＜0…（11分）
综合所述，k＞-

4

3

为所求．  …（12分）

点评：本小题主要考查集合之间的关系、幂函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．