题目内容

已知函数y=
2x
x2+1
-3
的值域为集合A,函数y=[kx2+(2k-4)x+k-4]-
1
2
的定义域为集合B,若A∪B=B,求实数k的取值范围.
y=
2x
x2+1
-3
,∴(y+3)x2-2x+y+3=0
当y≠-3时,∵x∈R,∴4-4(y+3)2≥0∴-4≤y<-3或-3<y≤2
当y=-3时,x=0∴A=[-4,-2]…(4分)
若k=0时,则y=(-4x-4)-
1
2
由-4x-4>0,解得B=(-∞,-1)
此时A∪B=B成立.…(6分)
若k>0时,由kx2+(2k-4)x+k-4>0
解得:B=(-∞,-1)∪(-1+
4
k
,+∞)

此时A∪B=B成立.…(8分)
若k<0时,由kx2+(2k-4)x+k-4>0
解得:B=(-1+
4
k
,-1)
,∵A∪B=B,∴A⊆B,
-1+
4
k
<-4
,∴-
4
3
<k<0
…(11分)
综合所述,k>-
4
3
为所求.  …(12分)
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