Question

已知椭圆

x2

3

+

y2

2

=1，斜率为k（k≠0）且不过原点的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC交椭圆左准线为点D（x₀，y₀），则x02+y02+k2的最小值为（　　）

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=kx+b，（b≠0），代入椭圆方程，结合韦达定理求出C点的坐标，再求出D点的坐标（x₀，y₀），表示出则x02+y02+k2，利用基本不等式求最小值．

解答：解：设直线l的方程为y=kx+b，（b≠0），
则

y=kx+b 2x2+3y2=6

⇒（2+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x_C=

x1+x2

2

=-

3bk

2+3k2

，y_C=

2b

2+3k2

，
∵椭圆的右准线方程为x=-3，∴x₀=-3，
∴

y0

-3

=

yC

xC

⇒y₀=

6

3k

，
∴x02+y02+k²=9+

4

k2

+k²≥9+4=13，
当k=±2时 取“=”，
故选B．

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，综合性强，有一定的运算量，计算要细心．