Question

已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，C=

π

3

，若向量

m

=（1，sin A）与

n

=（2，sin B）共线．
（1）求a，b的值；
（2）求△ABC的面积和外接圆的面积．

Answer 1

分析：（1）由

m

与

n

共线得，2sin A=sin B，再根据正弦定理得，2a=b．再根据c=3，C=

π

3

，利用余弦定理求得a，b的值．
（2）由条件计算S_△ABC=

1

2

absin C的值，再利用正弦定理求得三角形外接圆的直径2R，即可求得外接圆半径R，从而求得外接圆的面积．

解答：解：（1）由

m

与

n

共线得，2sin A=sin B，（1分）
根据正弦定理得，2a=b．（2分）
根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcos C（3分）
=a²+4a²-2a•2a•

1

2

=3a² ． （4分）
又c=3，所以a=

3

，b=2

3

．（6分）
（2）S_△ABC=

1

2

absin C=

1

2

×

3

×2

3

×

3

2

=

3 3

2

．（9分）
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得，2R=

c

sinC

=2

3

，（11分）
∴R=

3

，S_外接圆=πR²=3π．（13分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．