Question

已知(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8．
（1）求a₂+a₄+a₆+a₇+a₈；
（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|．
（3）求(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7)2．

Answer 1

分析：（1）由已知条件结合（1-3x）⁸ 的展开式通项公式，可得a₂、a₄、a₆、a₇、a₈ 的值，从而求得a₂+a₄+a₆+a₇+a₈的值．
（2）由题意可得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|，即（1+3x）⁸ 的展开式中各项的系数和，令x=1，可得结果．
（3）在(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8 中，分别令x=-1、x=1，可得两个等式，再把这两个等式相乘，化简即得所求．

解答：解：（1）由于已知(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8，
（1-3x）⁸ 的展开式通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•（-3x）^r，
∴a₂+a₄+a₆+a₇+a₈ =

C

2 8

•(-3) 2+

C

4 8

•(-3) 4+

C

6 8

•(-3) 6+

C

7 8

•(-3) 7+

C

8 8

•(-3) 8
=776+5670+20412-17496+6561=15923．
（2）由题意可得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|，即（1+3x）⁸ 的展开式中各项的系数和，
令x=1，可得各项系数和为 4⁸．
（3）在(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8 中，
令x=-1，可得（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈）=4⁸  ①，
令x=1，可得（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈）=2⁸ ②．
把①②相乘，可得 (a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7)2=4⁸×2⁸=16⁸．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式的应用．是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．