Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+

1

a

）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，则a为何值时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大？并求该切线方程；
（2）当a=2时，函数f（x）在区间（k-

3

4

，k+

3

4

）内不是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得f′(x)=x2-(a+

1

a

)x+1，利用基本不等式，可知a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，从而可求切线方程；
（2）当a=2时，f（x）=

1

3

x³-

5

4

x²+x，求导函数f′(x)=x2-

5

2

x+1=(x-

1

2

)(x-2)，从而可知x＜

1

2

或x＞2时，函数单调递增，

1

2

＜x＜2时函数单调递减，要使函数f（x）在区间（k-

3

4

，k+

3

4

）内不是单调函数，则

k- 3 4 ＜ 1 2 1 2 ＜k+ 3 4 ＜2

或

k+ 3 4 ＞2 1 2 ＜k- 3 4 ＜2

，从而可求实数k的取值范围；
（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分类讨论：①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；②当a＞0时，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（

1

a

）}≥0即可，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=x2-(a+

1

a

)x+1
∵a＞0，∴a+

1

a

≥2
∴f′(1)=2-(a+

1

a

)≤0，当且仅当a=1时，等号成立
即当a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，该切线方程为y=

1

3

；
（2）当a=2时，f（x）=

1

3

x³-

5

4

x²+x
f′(x)=x2-

5

2

x+1=(x-

1

2

)(x-2)
令f′（x）＞0，可得x＜

1

2

或x＞2，此时函数单调递增；
令f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜2，此时函数单调递减；
要使函数f（x）在区间（k-

3

4

，k+

3

4

）内不是单调函数，则

k- 3 4 ＜ 1 2 1 2 ＜k+ 3 4 ＜2

或

k+ 3 4 ＞2 1 2 ＜k- 3 4 ＜2

∴-

1

4

＜k＜

5

4

或

5

4

＜k＜

11

4

（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂=

1

a

．
①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；
②当a＞0时，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（

1

a

）}，
∵f（0）=0，∴

f(a)≥0 f( 1 a )≥0

得

3

3

≤a≤

3

，
综上所得，a的取值范围是a＜0或

3

3

≤a≤

3

．（13分）

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查学生分析解决问题的能力，综合性强．