题目内容

数列{an}，{bn}满足：
an+1=kan+n
bn=an-
2
3
n+
4
9
，(k∈R)．
（1）当a1=1时，求证：{an}不是等差数列；
（2）当k=-
1
2
时，试求数列{bn}是等比数列时，实数a1满足的条件；
（3）当k=-
1
2
时，是否存在实数a1，使得对任意正整数n，都有
1
3
≤Sn≤
2
3
成立（其中Sn是数列{bn}的前n项和），若存在，求出a1的取值范围；若不存在，试说明理由．
分析：（1）要证明：{an}不是等差数列，我们只要举出并不是所有项与前一项的积都为定值即可，我们可以根据已知条件，分别求出a1，a2，a3，再进行判断，易得结论．
（2）当k=-
1
2
时，我们由
an+1=kan+n
bn=an-
2
3
n+
4
9
，(k∈R)．可以数列{bn}的通项公式，再由数列{bn}是等比数列时，各项值及公比均不为零，不难得到实数a1满足的条件
（3）当k=-
1
2
时，我们由（2）的结论，对实数a1进行分类讨论，即分为：数列{bn}不是等比数列和数列{bn}是等比数列两种情况，最后将每类情况得到的结论进行汇总，即可得到答案．
解答：证明：（1）a1=1，a2=k+1，a3=k2+k+2，
又k2+k+2+1-（2k+2）=k2-k+1，而k2-k+1=0无实数解，
则2a2≠a1+a3，从而{an}不是等差数列．
（2）当k=-
1
2
时，an+1=-
1
2
an+n，b1=a1-
2
9
，
因为bn+1=an+1-
2
3
(n+1)+
4
9
=-
1
2
bn，故bn+1=(-
1
2
)n-1(a1-
2
9
)，
从而当a1≠
2
9
时，数列{bn}为等比数列；
（3）当k=-
1
2
，a1=
2
9
时，Sn=0，不满足题设，故a1≠
2
9
，数列{bn}为等比数列．
其首项为b1=a1-
2
9
，公比为-
1
2
，于是Sn=
2
3
(a1-
2
9
)[1-(-
1
2
)n]．
若
1
3
≤Sn≤
2
3
，则
1
2[1-(-
1
2
)n]
+
2
9
≤a1≤
1
1-(-
1
2
)n
+
2
9
对任意正整数n恒成立，
而1-(-
1
2
)n得最大值为
3
2
，最小值为
3
4
，因此
8
9
≤a1≤
8
9
，即a1=
8
9
时，成立．
点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法；②等差（比）中项法；③通项公式法；④前n项和公式法．但要判断一个数列不为等差（比）数列，只要举出一个反例即可．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，其前n项和为Sn，满足Sn=2an-1，n∈N*，数列{bn}满足bn=1-log
12
an，n∈N*
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设数列{anbn}的n项和为Tn，求Tn．
设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成：①
an+an+2
2
＜an+1；②存在实数M，使an≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{an}、{bn}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1；试判断数列{an}、{bn}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3=
1
4
，S3=
7
4
，试证明{Sn}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{dn}∈W，对于满足条件的M的最小值M0，都有dn≠M0（n∈N*）．求证：数列{dn}单调递增．
数列{an}、{bn}满足anbn=1，an=n2+n，则数列{bn}的前10项和为
10
11
10
11
．
在数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{an}是首项为a1，公差为d等差数列（a1•d≠0），求数列{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．
（2010•肇庆二模）已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求证：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
3
4
对一切n∈N*都成立．

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