Question

13．已知倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l被双曲线x²-4y²=60截得弦长|AB|=8$\sqrt{2}$，以AB为直径的圆的方程为（x+12）²+（y+3）=32或（x-12）²+（y-3）=32．

Answer 1

分析 设直线的方程为y=x+b，代入x²-4y²=60，整理可得3x²+8bx+4b²+60=0，利用弦长|AB|=8$\sqrt{2}$，求出b，再求出A，B的坐标，即可求出以AB为直径的圆的方程．

解答 解：设直线的方程为y=x+b，代入x²-4y²=60，整理可得3x²+8bx+4b²+60=0，
∵|AB|=8$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{1+1}•\sqrt{（-\frac{8b}{3}）^{2}-4•\frac{4{b}^{2}+60}{3}}$=8$\sqrt{2}$，
∴b=±9，
b=9时，3x²+8bx+4b²+60=0为x²+24x+128=0，∴x=-8或-16，
∴A（-8，1），B（-16，-7），
∴以AB为直径的圆的方程为（x+12）²+（y+3）²=32；
b=-9时，3x²+8bx+4b²+60=0为x²-24x+128=0，∴x=8或16，
∴A（8，-1），B（16，7），
∴以AB为直径的圆的方程为（x-12）²+（y-3）²=32．
故答案为：（x+12）²+（y+3）²=32或（x-12）²+（y-3）²=32．

点评 本题考查了圆锥曲线的应用及运算化简能力，考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．