题目内容

（理）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直， $数学公式$ ，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：CM∥平面BDF；
（2）求二面角A-DB-F的大小．

（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则 $\text{[math]}$ …（2分） $\text{[math]}$
设平面DBF

的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
取 $\text{[math]}$ ，
得平面DBF的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
又因为直线CM?平面DBF内，所以CM∥平面BDF．
（2）解：由（1）知平面BDF的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
而平面ABD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
所以向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，
从图中可以看出二面角A-DB-F为锐二面角，所以所求二面角A-DB-F的大小是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明CM与平面BDF的法向量垂直，即可证得结论；
（2）由（1）知平面BDF的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，平面ABD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，从而可求向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角，即可求得所求二面角A-DB-F的大小．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积求解．