题目内容

函数 $数学公式$ 是定义在（-1，1）上的奇函数，且 $数学公式$ ．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

解：（1）因为f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=1．
所以f（x）= $\text{[math]}$ ．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（t-1）+f（t）＜0可化为f（t-1）＜-f（t）．
又f（x）为奇函数，所以f（t-1）＜f（-t），
f（x）为（-1，1）上的增函数，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
联立①②③解得，0＜t＜ $\text{[math]}$ ．
所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由 $\text{[math]}$ 可求得a值．
（2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理．