Question

有下列四个命题：
①函数y=2x²+x+1在（0，+∞）上不是单调增函数；
②函数y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是单调减函数；
③函数y=

2x-1

的单调递增区间是（-∞，+∞）；
④已知f（x）在R上为单调增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
其中正确命题的序号是

④

．

Answer 1

分析：①利用二次函数的图象和性质判断．②利用分式函数的单调性的性质判断．③求出函数的定义域，然后利用单调性的定义进行判断．④利用单调性的性质进行判断．

解答：解：①二次函数的对称轴x=-

1

2×2

=-

1

4

，所以函数在（-

1

4

，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上是单调增函数，所以①错误．
②函数y=

1

x+1

在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是单调减函数，但在定义域上不是单调函数，所以②错误．
③由2x-1≥0，得x≥

1

2

，即函数的单调增区间为[

1

2

，+∞），所以③错误．
④由a+b＞0，得a＞-b，b＞-a，因为f（x）在R上为单调增函数，所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a），即f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）成立，所以④正确．
故答案为：④．

点评：本题主要考查与函数单调性有关的命题的真假判断，要求熟练掌握常见函数的单调性以及单调性的性质的应用．