Question

3．设函数f（x）=x²-4ax+3a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}，求实数a，m的值；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，且对任意的x∈[0，1]不等式a^k+3＜a${\;}^{{x}^{2}-kx}$＜a^k-3恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意把x=1代入方程f（x）=0中求出a的值，再求方程f（x）=0的另一个实数根m即可；
（2）根据△＜0求出a的取值范围，从而化简不等式a^k+3＜a${\;}^{{x}^{2}-kx}$＜a^k-3，
构造函数f（x），利用二次函数在闭区间上的最值求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-4ax+3a，且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}，
∴f（1）=1-4a+3a=0，
解得a=1，
∴方程x²-4x+3=0的两个实数根为1和3，
∴m=3；
（2）∵不等式f（x）＞0的解集为R，
△=16a²-12a＜0，
解得0＜a＜$\frac{3}{4}$；
∴不等式a^k+3＜a${\;}^{{x}^{2}-kx}$＜a^k-3可化为
k+3＞x²-kx＞k-3，
即3＞x²-kx-k＞-3；
设f（x）=x²-kx-k，其图象是抛物线，其对称轴为x=$\frac{k}{2}$；
当$\frac{k}{2}$＜0，即k＜0时，f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞-3}\\{f（1）＜3}\end{array}\right.$，
解得-1＜k＜3，
∴应取-1＜k＜0；
当0≤$\frac{k}{2}$≤1，即0≤k≤2时，f（x）在区间[0，1]上先单调减再单调增，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜3}\\{f（1）＜3}\\{f（\frac{k}{2}）＞-3}\end{array}\right.$，
解得-1＜k＜-2+$\sqrt{7}$，
应取0≤k＜-2+$\sqrt{7}$；
当$\frac{k}{2}$＞1，即k＞2时，f（x）在[0，1]上是减函数，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜3}\\{f（1）＞-3}\end{array}\right.$，
解得-3＜k＜2，
∴应取k∈∅；
综上，实数k的取值范围是-1＜k＜-2+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．