Question

（2008•咸安区模拟）两家共同拥有一块土地ABC，形状是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=am，如果两家人准备划分一条分割线（直线段），使两家所得土地相等，其中P，Q分别在线段AB，AC上．
（Ⅰ）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分割线，才能使造墙费用最少；
（Ⅱ）如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分割线，才能使果树的产量最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使造墙费用最少，即使PQ最短，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（Ⅱ）要使果树的产量最大，即使PQ最长，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用函数的单调性求PQ的最大值

解答：解：设AQ=x，AP=y，S△APQ=

1

2

xysin45°=

2

4

xy，
又S△APQ=

1

2

S△ABC=

1

4

a2，∴xy=

2

2

a2．
PQ=

x2+y2-2xycos45°

=

x2+y2-a2

．
（Ⅰ）∵x2+y2≥2xy=

2

a2，
∴PQ≥

2 -1

 a，此时x=y，又xy=

2

2

a2， ∴x=y=

4 8

2

a．
即取AP=AQ=

4 8

2

am时，PQ的长最短，因而造墙费用最少．（6分）
（Ⅱ）∵y≤

2

a，∴x≥

1

2

a，又x≤a，
∴

1

2

a≤x≤a，由xy=

2

2

a2得y=

2 a2

2x

．
考察函数u=x2+y2=x2+

a4

2x2

，得当x∈[

1

2

a，

4 8

2

a]时，函数递增，
当x∈[

4 8

2

a，a]时，函数递减，所以函数的最大值umax=

9

4

a2，此时x=

1

2

a．
故当P取在B点，Q取在AC的中点处时，PQ最长，因而果树的产量最大．（12分）

点评：本题主要考查函数模型的建立及最值的求解，正确理解题意，等价转化是关键．