题目内容

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的余弦值；
（2）设点P在线段GH上，且 $数学公式$ ，试确定λ的值，使得C₁P的长度最短．

解：由题意，以D₁为坐标原点，A₁D₁，D₁C₁，DD₁为x，y，z轴建立直角坐标系，
可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）设平面EFH的法向量 $\text{[math]}$ =（1，x，y），∵ $\text{[math]}$ =（-2，2，0）， $\text{[math]}$ =（4，6，-2）
∴ $\text{[math]}$ ，求得 $\text{[math]}$ =（1，1，5）；
∵ $\text{[math]}$ =（0，6，4），∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
设A₁H 与平面EF所成角θ，则cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）由题意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0）， $\text{[math]}$ =（5，5，-2），
∵ $\text{[math]}$ ，∴设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
∴ $\text{[math]}$ =（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），
∴ $\text{[math]}$ =（5λ+1）²+（5λ-5）²+（2λ-6）²=54λ²-64λ+58，
当λ= $\text{[math]}$ 时，C₁P的长度取得最小值．（10分）
分析：（1）由题意建立坐标系，求出平面EFH的法向量，利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由题意先求出P点的坐标，再求向量 $\text{[math]}$ 的长度的平方，转化为关于λ的一个一元二次函数，当取在对称轴出有最小值．
点评：本题用向量法求线面角的问题及求线段的最小值，只要用了向量的数量积和向量的长度；在求长度时转化到了二次函数求最小值，考查了转化思想和运算能力．