题目内容

已知向量
a
=(
3
2
，-
1
2
)，
b
=(1，
3
)．
（Ⅰ）求证
a
⊥
b
；
（Ⅱ）如果对任意的s∈R+，使
m
=
a
+(1+2s)
b
与
n
=-k
a
+(1+
1
s
)
b
垂直，求实数k的最小值．
分析：（I）利用数量积运算，只要证明
a
•
b
=0即可．
（II）由
m
⊥
n
?
m
•
n
=0，再利用基本不等式即可得出．
解答：（I）证明：∵
a
•
b
=(
3
2
，-
1
2
)•(1，
3
)=
3
2
-
3
2
=0．
∴
a
⊥
b
．
（II）解：∵
a
•
b
=0，|
a
|=
(
3
2
)2+(-
1
2
)2
=1，|
b
|=
12+(
3
)2
=2．
m
⊥
n
，
∴
m
•
n
=[
a
+(1+2s)
b
]•[-k
a
+(1+
1
s
)
b
]
=-k
a
2+(1+2s)(1+
1
s
)
b
2
=-k+2(3+2s+
1
s
)=0，
∴k=6+2(2s+
1
s
)．
∵s＞0，
∴k≥6+2×2
2s•
1
s

=6+4
2
．当且仅当s=
2
2
时取等号．
∴实数k的最小值的最小值为6+4
2
．
点评：本题考查了数量积运算法则、向量
m
⊥
n
?
m
•
n
=0、基本不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
3
2
，-
3
2
)，
b
=(
3
2
，λ)，若
a
∥
b
，则λ的值为（　　）
A、-2
B、-
1
2
C、-
1
4
D、
1
2
已知向量
a
=(
3
2
，-
1
2
)，
b
=(sinα，cosα)且当α∈R时，|2
a
-
b
|的最大、最小值分别为m、n，则m-n=
2
2
2
2
．
已知向量
a
=(
3
2
，1)，
b
=(
3
2
，
3
4
)，设
a
与
b
的夹角为θ，则cosθ=
4
3
7
4
3
7
．
已知向量
a
=(
3
2
，-
3
2
)
b
=(
3
2
，λ)，若
a
∥
b
，则实数λ的值为_
-
1
2
-
1
2
．

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