题目内容
【题目】已知实数,定义域为
的函数
是偶函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求实数值;
(Ⅱ)判断该函数在
上的单调性并用定义证明;
(Ⅲ)是否存在实数,使得对任意的
,不等式
恒成立.若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)在上递增,证明详见解析;(Ⅲ)不存在.
【解析】
(Ⅰ)根据函数是偶函数,得到恒成立,即
恒成立,进而得到
,即可求出结果;
(Ⅱ)任取,且
,根据题意,作差得到
,进而可得出函数单调性;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数在
上递增,由函数
是偶函数,所以函数
在
上递减,再由题意,不等式恒成立可化为
恒成立,即
对任意的
恒成立,根据判别式小于0,即可得出结果.
(Ⅰ)因为定义域为的函数
是偶函数,则
恒成立,
即,故
恒成立,
因为不可能恒为
,所以当
时,
恒成立,
而,所以
.
(Ⅱ)该函数在
上递增,证明如下
设任意,且
,则
,因为
,所以
,且
;
所以,即
,即
;
故函数在
上递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数在
上递增,而函数
是偶函数,则函数
在
上递减.若存在实数
,使得对任意的
,不等式
恒成立.则
恒成立,即
,
即对任意的
恒成立,
则,得到
,故
,
所以不存在.
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