Question

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题，
①若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；   
②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α；  
④m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．其中正确命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析选项，①、用直线与平面的位置关系判断．②、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．③、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．④、由用长方体中的线线，线面，面面关系验证得到结论．

解答：解：①、在如图所示的长方体中，直线A₁A⊥A₁B₁，A₁A⊥平面ABCD，
A₁B₁?平面ABCD，则A₁B₁∥平面ABCD，①正确
②、用长方体验证．如图，设A₁B₁为m，平面AC为α，平面A₁B为β，显然有m∥α，α⊥β，但得不到m⊥β，不正确；
③、可设A₁A为m，平面AC为β，平面A₁D或平面B₁C为α，
满足选项C的条件且得到m∥α或m?α，正确；
④、设A₁B₁为m，平面A₁D为α，A₁A为n，平面AC为β，满足选项D的条件且得到α⊥β，正确；
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．