Question

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．考查下列命题，其中不正确的命题有

①③④

．（填上所有符合条件命题的序号）
①m⊥α，n?β，m⊥n⇒α⊥β；      ②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；
③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；       ④α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β．

Answer 1

分析：若m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；
α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直；
若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能相交或异面，不一定垂直，
α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n?α，则n⊥β不一定成立．

解答：解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故①不正确
α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故②正确
α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能相交或异面，不一定垂直，故③错误
α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n?α，则n⊥β，但题目中无条件n?α，故④也不一定成立，
故答案为：①③④．

点评：本题主要涉及到线面平行或垂直的判断以及线线关系的判断．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．