Question

13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米²，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．

Answer 1

分析 （1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．

解答 解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为$\frac{162}{x}$米．
则总造价f（x）=400×（2x+2×$\frac{162}{x}$）+248×2x+80×162=1296x+$\frac{1296×100}{x}$+12960
=1296（x+$\frac{100}{x}$）+12960≥1296×2×$\sqrt{x•\frac{100}{x}}$+12960=38880（元），
当且仅当x=$\frac{100}{x}$（x＞0），即x=10时取等号．
∴当长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元．
（2）由限制条件知$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤16}\\{0＜\frac{162}{x}≤16}\end{array}\right.$，∴10$\frac{1}{8}$≤x≤16
设g（x）=x+$\frac{100}{x}$（10$\frac{1}{8}$≤x≤16）．g（x）在[10$\frac{1}{8}$，16]上是增函数，
∴当x=16时，g（x）有最小值，即f（x）有最小值．
∴当长为16 米，宽为10$\frac{1}{8}$米时，总造价最低．

点评 本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力．