题目内容

如图,已知点F(1,0),直线l: x=-1,P为平面上的动点,过Pl的垂线,垂足为点Q,且?

(I)求动点P的轨迹C的方程;

(II)过点F的直线交轨迹CAB两点,交直线l于点M.

(1)已知的值;

(2)求||?||的最小值.

本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.

解法一:(I)设点Px,y),则Q(-1,y),由得:

(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y),化简得Cy2=4x.

(II)(1)设直线AB的方程为:



x=my+1(m≠0).

Ax1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-).

联立方程组,消去x得:

y2-4my-4=0,

△=(-4m)2+12>0,

得:

,整理得:

,

=

=-2-

=0.

解法二:(I)由

?

=0,

所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为:y2=4x.

(II)(1)由已知

则:…………①

过点A、B分别作准l的垂线,垂足分别为A1B1,

则有:…………②

由①②得:

(II)(2)解:由解法一:

?=(2|y1-yM||y2-yM|

                       =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|

                       =(1+m2)|-4+×4m+|
  =

                       =4(2+m2+4(2+2)=16.

当且仅当,即m=1时等号成立,所以?最小值为16.

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