题目内容
如图,已知点F(1,0),直线l: x=-1,P为平面上的动点,过P作l的垂线,垂足为点Q,且?
(I)求动点P的轨迹C的方程;
(II)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M.
(1)已知的值;
(2)求||?||的最小值.
本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.
解法一:(I)设点P(x,y),则Q(-1,y),由得:
(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y),化简得C:y2=4x.
(II)(1)设直线AB的方程为:
x=my+1(m≠0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-).
联立方程组,消去x得:
y2-4my-4=0,
△=(-4m)2+12>0,
由得:
,整理得:
,
∴
=
=-2-
=0.
解法二:(I)由
∴?,
∴=0,
∴
所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为:y2=4x.
(II)(1)由已知
则:…………①
过点A、B分别作准l的垂线,垂足分别为A1、B1,
则有:…………②
由①②得:
(II)(2)解:由解法一:
?=()2|y1-yM||y2-yM|
=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|
=(1+m2)|-4+×4m+|
=
=4(2+m2+) 4(2+2)=16.
当且仅当,即m=1时等号成立,所以?最小值为16.
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