题目内容
(06年湖南卷理)(14分)
已知函数, 数列满足: ,
证明 (Ⅰ) ;
(Ⅱ) .
解析:证明: (I).先用数学归纳法证明,n=1,2,3,…
(i).当n=1时,由已知显然结论成立.
(ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0
,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,
从而.故n=k+1时,结论成立.
由(i)、(ii)可知,对一切正整数都成立.
又因为时,,
所以,综上所述.
(II).设函数,.由(I)知,当时,,
从而
所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,
所以当时,g (x)>0成立.于是.
故.
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