Question

如图，在平面直坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率．且椭圆C与直线y=x+

3

有且只有一个交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不经过原点的直线l与椭圆C相交与A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆过点（1，e），可得

1

a2

+

e2

b2

=1，再由e=

c

a

及a²=b²+c²即可求得b²，∵椭圆C与直线y=x+

3

有且只有一个交点，联立方程组则有一解，从而消去y后△=0，解出a²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求P点坐标，从而可得直线OP方程，设不经过原点的直线l的方程y=kx+t（t≠0），由AB中点在直线OP上、中点坐标公式及韦达定理即可求得k值，由弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，构造函数利用导数即可求得△PAB的面积取得最大值时直线l的方程，注意t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点（1，e），∴

1

a2

+

e2

b2

=1，
又e=

c

a

，
∴

1

a2

+

c2

a2b2

=1，∴b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

a2

+y2=1，
又∵椭圆C与直线y=x+

3

有且只有一个交点，
∴方程

x2

a2

+(x+

3

)2=1即(1+a2)x2+2

3

a2x+2a2=0有相等实根，
∴△=(2

3

a2)2-4(1+a2)•2a2=0，解得a²=2，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，故P(1，

2

2

)，
设不经过原点的直线l的方程y=kx+t（t≠0），交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+t

得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
则

△=(4kt)2-4(1+2k2)•(2t2-2)=16k2-8t2+8＞0 x1+x2= -4kt 1+2k2 x1x2= 2t2-2 1+2k2

，∴y1+y2=k(x1+x2)+2t=

2t

1+2k2

，
直线OP方程为y=

2

2

x，且OP平分线段AB，
∴

2t

1+2k2

=

2

2

×

-4kt

1+2k2

，解得 k=-

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(4-2t2)

，
又∵点P到直线l的距离d=

| 2 -t|

1+k2

=h，
∴S△PAB=

1

2

|AB|h=

1

2

( 2 -t)2(4-2t2)

，
设f(t)=(

2

-t)2(4-2t2)=-2t4+4

2

t3-8

2

t+8，
由直线l与椭圆C相交于A，B两点可得-

2

＜t＜

2

，
求导可得t=-

2

2

时f(t)在(-

2

，

2

)上有最大值

27

2

，此时S_△PAB取得最大值，
此时直线l的方程y=-

2

2

x-

2

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求较高．