Question

如图是一个三角形数阵（x≠0，-1），从第二行起每个数都等于它肩上两个数的和，第k行的第一个数为a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a_k关于k的表达式：a_k=f（k）；
（Ⅱ）求第k行中所有数的和T_k；
（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）写出a_k关于k的表达式：a_k=f（k）；通过排布找规律，归纳得出1，1+x，（1+x）²，再由等比数列通项公式得出．
（Ⅱ）求第k行中所有数的和T_k；通过总结第一行，第二行，第三行的数的规律，总结归纳出，各行数成等比数列，利用等比数列求和公式求得．
（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n，x=1代入，得到一个数列的和，利用分组求和与错位相减法求和可求得．

解答：解：（Ⅰ）由数阵的排布规律可知：a₁=1=（1+x）⁰，a₂=（1+x）¹，a₃=1+x+x+x²=（1+x）²，
a₄=（1+x）²+x+2x²+x³=（1+x）²+x（1+x）²=（1+x）³，…
猜想：a_k=（1+x）^k-1（1≤k≤n）．                                   （3分）
（Ⅱ）由数阵的排布规律可知：
第1行：1，x，x²，…，x^n-1
第2行：1+x，x（1+x），x²（1+x），…
第3行：（1+x）²，x（1+x）²，x²（1+x）²，…
因为x≠0，-1；所以数阵中除第n，n-1行外，其余各行均为等比数列，
且公比为x，又第k行的首项为a_k，项数为n-k+1，
∴当k≠n，n-1，且x≠1时Tk=

ak(xn-k+1-1)

x-1

=

(1+x)k-1(xn-k+1-1)

x-1

①
当k≠n，n-1，且x=1时，第k行为常数列，2^k-1，2^k-1，…，2^k-1（共有n-k+1行）
∴T_k=（n-k+1）•2^k-1②
又当k=n时，a_k=a_n=（1+x）^n-1
当x≠1时，①式为T_n=（1+x）^n-1=a_n
当x=1时，②式为T_n=2^n-1=a_n
当k=n-1时，由排布规律可知，第n-1行两个数之和为a_n=（1+x）^n-1
而在①式中，即x≠1时，Tn-1=

(1+x)n-2(x2-1)

x-1

=(1+x)n-1=an
在②式中，即x=1时T_n-1=2•2^n-2=2^n-1=a_n
即当1≤k≤n，n≥2时，都有Tk=

(1+x)k-1(xn-k+1-1) x-1 ，(x≠1) (n-k+1)•2k-1，(x=1)

（9分）
（Ⅲ）当x=1时，T_k=（n-k+1）•2^k-1=n•2^k-1-（k-1）•2^k-1
∴S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n=n（1+2+2²+…+2^n-1）-[1•2+2•2²+…+（n-1）2^n-1]，
在上式中，前面一部分直接用等比数列求和公式求得和为n（2ⁿ-1），
后一部分可用错位相减法求得和为（n-2）•2ⁿ+2；
∴S_n=n（2ⁿ-1）-（n-2）•2ⁿ+2=2ⁿ⁺¹-n-2（n≥2）．             （13分）

点评：本题属于数列综合应用题，考查了归纳推理能力，等比数列通项公式，等比数列求和公式，及数列求和的其它方法，灵活性强，计算量大．