Question

已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC与BD交于E点，BD=2，BC=CD．
（1）取PD中点F，求证：PB∥平面AFC．
（2）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用空间坐标系解．先以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，欲证PB∥平面ACF，只须证PB∥EF，分别求出向量的坐标后，结合向量的线性运算即可进行判断．
（2）欲求二面角A-PB-E的余弦值，只须求出平面PAB、平面PBE的法向量的夹角，再结合图形求其补角即得．

解答：解：以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC⊥BD，
则A（0，0，0）、B(1，

3

，0)、D(-1，

3

，0)、E(0，

3

，0)、P（0，0，2）、F(-

1

2

，

3

2

，1)
（1）

PB

=(1，

3

，-2)、

FE

=(

1

2

，

3

2

，-1)，
∴

PB

=

1

2

FE

，
∴PB∥EF，
∴PB∥平面ACF．
（2）设平面PAB、平面PBE的法向量分别为

n

1=(x1，y1，0)、

n

2=(x2，y2，-1)，
则

n1

、

n2

的夹角的补角就是二面角A-PB-E的平面角．
∵

AB

=(1，

3

，0)，

PB

=(1，

3

，-2)，

PE

=(0，

3

，-2)，
由

n1

•

AB

=0及

n2 • PB =0 n2 • PE =0

得

n1

=(-

3

，1，0)，

n2

=(0，-

2

3

，-1)．
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

7

7

，
∴二面角A-PB-E的余弦值为

7

7

．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及直线与平面平行的判定等知识，还考查了空间想象力、空间向量的运算．属于基础题．