Question

3．已知A、B、C是直线l上三点，点O不在直线l上，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足：$\overrightarrow{OA}$=（y+1）$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$1nx，x、y之间满足函数关系y=f（x），且不等式2x²≤f（x）+m²-2bm-1对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，1]及b∈[-1，1]都恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． m≤-3
• B． m≥3
• C． m≤-3或m≥3
• D． m≥-3或m≤3

Answer 1

分析 运用三点共线的结论可得y+1-lnx=1，即为y=f（x）=lnx，再令g（x）=2x²-lnx，求出导数，求得单调性可得x=1处取得最大值，且为2．将b看作变量，由一次函数的单调性，可得不等式组，解得即可得到m的范围．

解答 解：由于A、B、C是直线l上三点，点O不在直线l上，
向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足：$\overrightarrow{OA}$=（y+1）$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$1nx，
即有y+1-lnx=1，即为y=f（x）=lnx，
不等式2x²≤f（x）+m²-2bm-1，即为：
2x²-lnx≤m²-2bm-1对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，1]及b∈[-1，1]都恒成立，
由g（x）=2x²-lnx的导数为g′（x）=4x-$\frac{1}{x}$，
当$\frac{1}{2}$≤x≤1时，g′（x）≥0，g（x）递增，
即有x=1处取得最大值，且为2．
则m²-2bm-1≥2对b∈[-1，1]恒成立，
即有m²-2m-1≥2且m²+2m-1≥2，
解得m≥3或m≤-3．
故选：C．

点评 本题考查向量共线的条件，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．