Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，正方形ABCD的边长为．

（1）求证：平面ABCD丄平面ADE；
（2）求四面体BADE的体积；
（3）试判断直线OB是否与平面CDE垂直，并请说明理由．

Answer 1

（1）如下（2）（3）OB与平面CDE不垂直

试题分析：解：（1）∵AE⊥平面CDE，平面CDE，

∴AE⊥CD，又∵正方形ABCD，∴CD⊥AD，
，∴CD⊥平面ADE，
，∴平面ABCD丄平面ADE．
（2）为正方形，
，，
又（（1）已证），
，平面，
∴四面体BCDE的体积，∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，在Rt△ADE中，，
∴四面体ABDE的体积．
（3）连结CE，由（1）知，CD⊥平面ADE，∴CD⊥DE，∴弦CE为直径，即O为CE中点．
若OB⊥平面CDE，则CD⊥CE，∴BC=BE，又AB=BC，∴AB=BE，
由（2）知，AB⊥AE，∴AB<BE，矛盾，∴OB与平面CDE不垂直．
方法2：若OB⊥平面CDE，∵AE⊥平面CDE，∴OB//AE，∴四点A、B、E、O在同一平面上，平面ABOE平面CDE=OE，又AB//CD，AB平面CDE，CD平面CDE，∴AB//平面CDE，∴AB//OE，∴CD//OE，矛盾．
点评：解决立体几何的题目，若几何体是规则的图形，则可建立空间直角坐标系，用向量去解决问题较方便。