Question

18．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12．，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$，证明：$\frac{1}{2}≤$b_n＜1．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用数列的单调性与“放缩法”即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₃+a₅=12，
∴3a₃=12，∴a₃=4．
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴${a_5}^2={a_1}{a_{17}}$，
∴（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），
∵d≠0，解得d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；
∴数列{a_n}的通项公式为：${a_n}=n+1，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
b_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，b_n+1=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+2}$，
∵b_n+1-b_n=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴数列{b_n}单调递增．b_n≥b₁=$\frac{1}{2}$．
又b_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$≤$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$＜1，
因此$\frac{1}{2}$≤b_n＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．