Question

15．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦点作直线l与椭圆交于A，B两点，弦长|AB|=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$，则直线l的斜率为±2．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，e，以及右准线方程，设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到斜率．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
右焦点为（1，0），右准线的方程为x=5，
设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程可得，（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
即有x₁+x₂=$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，
由椭圆的第二定义可得，|AB|=a-ex₁+a-ex₂
=2a-e（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$
解得k=±2．
故答案为：±2．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，注意运用韦达定理和椭圆的第二定义，考查运算能力，属于中档题．