Question

已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(-∞，0)时不等式f(x)+xf′(x)＜0成立，若a＝3^0.3f(3^0.3)，b＝(log_π3)f(log_π3)，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)

1. A.
   a＞b＞c
2. B.
   c＞b＞a
3. C.
   c＞a＞b
4. D.
   a＞c＞b

Answer 1

C
考点：函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系．
分析：由已知式子（x）+xf′（x），可以联想到：（uv）′=u′v+uv′，从而可设h（x）=xf（x），
有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．
解：构造函数h（x）=xf（x），
由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，
又当x∈（-∞，0）时h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
所以函数h（x）在x∈（-∞，0）时的单调性为单调递减函数；
所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．
又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0
因为log₃=-2，所以f（log₃）=f（-2）=-f（2），
由0＜log_π3＜1＜3^0.3＜3^0.5＜2
所以h（log_π3）＜h（3^0.3）＜h（2）=f（log₃），即：b＜a＜c
故选B．