Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l₁交抛物线于A、B两点．O为坐标原点．
（1）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程；
（2）若l₁倾斜角为30°，则在抛物线准线l₂上是否存在点E，使得△ABE为正三角形，若存在，求出E点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出过点A的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，利用△=0，求出k，再代回切线方程，求C点坐标，这样就可找到AC中点的坐标，进而求出中点M的轨迹方程．
（2）假设存在符合题意的点E．由已知l₁：y-=x  联立抛物线方程有：x²=2p（），故可求A，B的坐标．欲使△ABE为正△，则k_BE不存在．从而可知不存在符合条件的点E．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），过点A的切线方程为y=k（x-x₁）+y₁
由得x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0
令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0
解得
∴切线方程为
令x=0，得
∴线段AC中点M为（x，0）
∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）
（2）假设存在符合题意的点E．
由已知l₁：y-=x  联立抛物线方程有：x²=2p（）
∴x²-=0
∴x₁=-，x₂=p  
故A（-，），B（p，p）
∵△ABE为正△
∴k_AE=-
∴AE：y-=-（x+）  即y=-x-
准线l₂：y=-∴E（-，p）
欲使△ABE为正△，则k_BE不存在．即x_B=x_E不符合
∴不存在符合条件的点E．
点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是直线与抛物线方程联立，转化为一元二次方程求解．